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オプションの計算について

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マイナス金利下におけるオプション評価について|企業価値評価・算定のプルータス・コンサルティング公式サイト

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1. リスクフリーレートとは

日本において、ストック・オプション(新株予約権)の評価の参考となる指標の1つであるストック・オプション会計基準およびストック・オプション会計基準の適用指針には、オプションの評価に考慮すべき6つの基礎数値が記載されており、そのうちの1つが、無リスクの利子率(割引率)です。無リスクの利子率は、他にもリスクフリーレート、非危険利子率、安全資産利子率等、数多くの呼び名があります。適用指針において、リスクフリーレート(以降リスクフリーレートに統一)とは、『オプションの期間に対応する期間の国債、政府機関債又は優良社債の利回りを用いる』とあります。この定義からすると、オプション評価に用いるリスクフリーレートは、中期国債や長期国債などのような日本の国債を参照すれば良いことになります(実際のストック・オプション評価の実務において、弊社でも長期国債等の日本国債の利回りを基礎数値として用いています)。
具体的な参照先としては、日本証券業協会が開示している「公社債市場・公社債店頭売買参考統計値」にて、リスクフリーレートの情報が得られます。
http://market.jsda.or.jp/html/saiken/kehai/downloadInput.php

2. マイナス金利とは

上述の日本証券業協会の売買参考統計値から国債の利回りを確認すると、例えば残存期間が5年物で『-0.173%』(長期国債317)、10年物で『-0.081%』(超長期国債90)(いずれも2016/8/22時点)というマイナスの数値が確認できます。
さらに、マイナス金利の影響は、ストック・オプション以外でも議論されており、退職給付債務の計算における割引率についても議論がなされています。こちらは、マイナス金利をそのまま適用するか、ゼロを下限とするかについて論点となっておりましたが、結論としては、「マイナスとなっている利回りをそのまま利用する方法とゼロを下限とする方法のいずれの方法を用いても、現時点では妨げられないものと考えられる」とされています。(平成28年3月9日:第331回企業会計基準委員会議事参照
https:オプションの計算について //www.asb.or.jp/asb/asb_j/minutes/20160309/20160309_06.pdf)

3. マイナス金利を用いてオプション計算をして良いか

4. リスクフリーレートがオプション価値に与える影響

前述の通り、マイナス金利下においてもブラック・ショールズ式にマイナス金利を代入することは可能ですが、では、マイナス金利がオプション価値に及ぼす影響を調べてみましょう。
下のグラフは、横軸を金利、縦軸をオプション価値とした場合のグラフです。簡略化のため、ストック・オプション会計基準及び適用指針を参考に6つの基礎数値を仮定し、金利以外のパラメータは全て同一としています。
ちなみに、計算に用いた6つの基礎数値は以下の通りです。
①株価=100円
②行使価格=100円
③期間=10年
④配当率=0%
⑤ボラティリティ=50%
⑥リスクフリーレート→変動
ここで、日本における金利の変動幅は他の基礎数値の変動幅よりも小さく、
5年前の2011年8月22日時点の5年物で『0.331%』(長期国債282)、10年物で『1.025%』(超長期国債52)
10年前の2006年8月22日時点の5年物で『1.338%』(長期国債234)、10年物で『1.798%』(超長期国債33)
となっているため、10年間の時間の経過があったとしてもせいぜい2%程度の変動幅であることがわかります。そのため、金利の変化幅を0.2%刻みとしてオプションの価値を計算してみると、下のグラフのようになります。

金利の変動(-2.0%~2.0%)によってオプション価値は52.7円~61.3円の間で変動しました。この差額(8.57円)は原資産である株価に対しては8.57%(8.57円÷100円)となります。現時点でリスクフリーレートは低くとも-0.2%程度であるため、仮にリスクフリーレートを0%として計算した結果と比較してみると、
リスクフリーレート0%→57.1円
リスクフリーレート-0.2%→56.7円
となり、その差は0.4円、株価に対しての影響は0.4%程度となります。そのため、リスクフリーレートの見積もりについて、『マイナス金利は認めないから0%を使うべき』という前提を持ち出してきても、オプションの価値に与える影響は微々たるものであることが伺えます。

5. よくある勘違い「金利変動モデルであるブラック・モデル」

「ブラック・ショールズ式にマイナス金利なんて使えない。」という意見をクライアントや監査法人から最近良く聞くことがあります。似た名前のプライシングモデルに、ブラック・モデル(正確にはブラック・ダーマン・トイモデル)という金利変動モデルがあり、こちらは金利のオプションを評価する際に用いられているモデルであり、変動する金利が対数正規分布(0以下にはならない)であるという仮定に基づいています。 オプションの計算について
ブラック・モデルはブラック・ショールズ・モデルを提唱したフィッシャー・ブラック氏が、エマニュエル・ダーマン氏、ウィリアム・トイ氏とともに提唱したモデルであり、「ブラック」が共通しているため誤解が生じることがよくありますが、ブラック・モデル(ブラック・ダーマン・トイモデル)は金利の変動モデルであり、“金利が対数正規分布する”
という仮定であるのに対して、株式オプションのプライシングモデルであるブラック・ショールズ・モデルは、原資産である“株価が対数正規分布する”(金利は一定であり定数)という仮定であるため、似て非なるモデルであることがわかります。
ブラック・モデルでは、そもそも金利が0以下にはならない対数正規分布であるという仮定をしているため、マイナス金利には対応できないという意見は理解できますが、ブラック・ショールズ・モデルでは、金利は定数で一定であるというだけの定義であるため、マイナス金利であろうが計算に影響はありません。デリバティブの評価について詳しく解説されている書籍である『フィナンシャルエンジニアリング<第7版>』には、株式オプションの説明に用いる記号と定義の部分に、「r:満期までの運用に対する連続複利での無リスク金利。r>0と仮定してよい。」とあることから、r>0が絶対に正しい仮定というわけではないことがわかります。また、当該書籍には、「r>0という仮定を除いてその他の各要素(リスクフリーレート以外の5つの基礎数値)に対してなんら特別な仮定を必要としない。」という記載もあり、おそらく当該書籍が出版された頃は、マイナス金利という世界は想像していなかったので、r>0という仮定を特別に設けたものと考えられます。
これを実際に勘違いされた監査法人から、以下のような質問を受け取ったことがありますので、ご紹介しますと、
『ストック・オプション評価の件、確認しましたところ、一般論としてブラック・ショールズ・モデルは金利が「対数正規分布」に従うとの前提となっており、対数正規なので金利は0以上となることが前提であり、マイナス金利にはならないことが前提となっているとの理解です。マイナス金利下でも計算可能とのことであれば、その論拠と結論を評価書に記載いただく事は可能でしょうか。』
という質問を頂きました。弊社の回答としては、
『ブラック・ショールズ式を導く前提として、”金利は一定”としているのみですので、金利がプラスかマイナスかは関係ないものと理解しております。貴監査法人がおっしゃっているのは、「金利」変動をモデル化した時の話であり、株式のオプションは金利変動ではなく「株価」変動をモデル化しておりますので、内容が全く異なるものかと存じます。』
という回答となり、それ以降追加の質問は頂かなくなりました。

ストック・オプション 第2回:権利確定日以前の会計処理について(1)

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オプションの計算について

割合の計算に関与する 2 つの要因があります。

1.すべての割合計算の比較先であるデータ

割合とは数字の比率です。分子は特定のマークの値です。分母は目的の割合の種類によって異なり、すべての計算の比較対象となる値です。比較は、表全体、行、ペインなどに基づいて行うことができます。既定では、表全体が使用されます。その他の割合計算は、 [割合] メニュー項目から使用できます。割合のオプションを参照してください。

下の図は、割合をテキスト テーブルで表示した例です。割合は、合計として集計された "Sales (売上高)" メジャーを使用して計算されており、表全体に基づいています。

パーセンテージがオンになっているテキスト表を示す図。

たとえば、 "Sales (売上高)" オプションの計算について メジャーに適用された集計が合計である場合、既定の割合計算 (表に対する割合) では、そのマークの SUM(Sales)を表全体の SUM(Sales)で除算した値が表示されます。

下のビューには、2 つのディメンションと最大値として集計した 1 つのメジャーを使用して作成した、ネストされた棒グラフが表示されています。さらに、データはディメンション別に色エンコードされ、既定の割合計算が適用されています。軸ラベルが変更され、割合の計算を反映します。

ツールヒントには、東部における 2001年度の家具の最大売上高は、表全体の最大値の 17.70% であることが示されています。表全体の最大値は、南部での 2005 年度の売上高です。ビューを再作成すると、最大値は "South (南部)"、"Technology (テクノロジー)" カテゴリー、"2011 (2011 年)" に発生したことがわかります。この部分のツールヒントには、100% の最大売上高が示されます。

パーセンテージがオンになっている棒グラフを示す図。ツールヒントにはパーセンテージ情報も表示されます。

ツールヒントには、選択したデータ ポイントが、総利益の -0.475%、総売上高の 0.3552% を構成していることが表示されます。この割合計算は、データ ソース全体に基づいます。

パーセンテージを使用した散布図を示す図。パーセンテージは、ツールヒント内で軸に沿って表示されます。

割合の計算方法

  • [分析] > [次のパーセンテージ] を選択し、割合のオプションを選択します。

割合のオプション

選択したオプションは、ワークシートに表示されるすべてのメジャーに適用されます。あるメジャーに [列の割合] を選択し、別のメジャーに [行の割合] を選択することはできません。

[分析] メニューの割合オプションは、表計算の割合に対応します。割合オプションを選択すると、実際には表計算の オプションの計算について [合計に対する割合] が追加されます。詳細については、表計算での値の変換を参照してください。

現在の割合計算の意味がわからない場合は、総計を表示します。これによって、より詳細な行および列の情報が得られます。たとえば、総計を表示して [行の割合] を選択すると、各行の合計は 100% であることがわかります。総計の詳細については、ビジュアライゼーションでの合計の表示を参照してください。

[分析] メニューから [パーセンテージ] > [表] を選択すると、ワークシート上の各メジャーがワークシート全体 (表) の合計に対する割合として表示されます。たとえば、"East (東部)" 地域の "Technology (テクノロジー)" は、2014 年度の合計売上高の 3.79% を占めています。行の総計は、2014 年には総売上高の 31.95% を占めていることを示しています。行の総計を合計しても、列の総計を合計しても、合計は 100% になります。

表のパーセンテージがオンになっているテキスト表を示す図。

[分析] メニューから [パーセンテージ] > [列] を選択すると、ワークシート上の各メジャーがペイン内の特定の列の合計に対する割合として表示されます。赤色の各ボックス内の数値は、合計 100% になります。

列のパーセンテージがオンになっているテキスト表を示す図。

[行の割合] を選択すると、ワークシート上の各メジャーが行の合計に対する割合で表示されます。赤色の各ボックス内の数値は、合計 100% になります。

行のパーセンテージがオンになっているテキスト表を示す図。

ペインの割合

[分析] メニューから [パーセンテージ] > [ペイン] を選択すると、ワークシート上の各メジャーがビュー内のペインの合計に対する割合で表示されます。このオプションは、表が 1 つのペインのみで構成されている場合は [表の割合] と同等です。

総計がオンになっていて、テクノロジー ペインが強調表示されているテキスト表を示す図。

ペイン内の行の割合

[分析] メニューから [パーセンテージ] > [ペイン内の行の割合] を選択すると、ワークシート上の各メジャーがペイン内の特定の行の合計に対する割合として表示されます。このオプションは、表の幅が 1 ペイン分しかない場合は [行の割合] と同等です。

テクノロジー ペインで東の行が強調表示されたテキスト表を示す図。総計がオンになっていて、ペイン内の単一行のパーセンテージが表示されています。

: [メジャー ネーム] を [列] シェルフの内部ディメンションとして配置すると (つまり右端にあるディメンションです)、複数のメジャー ネームの値を合計できないので、各マークに対して 100% が返されます。たとえば、SUM(Sales) と SUM(Profit)の値を合計することはできません。

ペイン内の列の割合

[分析] メニューから [パーセンテージ] > [ペイン内の列の割合] を選択すると、ワークシート上の各メジャーがペイン内の特定の列の合計に対する割合として表示されます。このオプションは、表の高さが 1 ペイン分しかない場合は [列の割合] と同等です。

テクノロジー ペインで 2001 列が強調表示されたテキスト表を示す図。総計がオンになっていて、ペイン内の単一列のパーセンテージが表示されています。

[メジャーネーム] を [行] シェルフの内部ディメンションとして配置すると (つまり、シェルフの右端にあるディメンションです)、複数のメジャーネームの値を合計できないので、各マークに対して 100% が返されます。たとえば、SUM(Sales) と SUM(Profit)の値を合計することはできません。

セルの割合

[分析] メニューから [パーセンテージ] > [セル] を選択すると、ワークシート上の各メジャーがビュー内の各セルの合計に対する割合で表示されます。ほとんどのビューでは、1 つのセルにつき 1 つの値しか表示されません。この場合、すべてのセルが 100% のパーセンテージを示します。しかし場合によって、たとえばデータを非集計する場合は、1 つのセルに複数の値を含めることができます。

[ビデデ] 「集計、粒度、および比率の計算」 (新しいウィンドウでリンクが開く) 無料のビデオにアクセスするには、tableau.com アカウントを使用してサインインします。

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1. リスクフリーレートとは

日本において、ストック・オプション(新株予約権)の評価の参考となる指標の1つであるストック・オプション会計基準およびストック・オプション会計基準の適用指針には、オプションの評価に考慮すべき6つの基礎数値が記載されており、そのうちの1つが、無リスクの利子率(割引率)です。無リスクの利子率は、他にもリスクフリーレート、非危険利子率、安全資産利子率等、数多くの呼び名があります。適用指針において、リスクフリーレート(以降リスクフリーレートに統一)とは、『オプションの期間に対応する期間の国債、政府機関債又は優良社債の利回りを用いる』とあります。この定義からすると、オプション評価に用いるリスクフリーレートは、中期国債や長期国債などのような日本の国債を参照すれば良いことになります(実際のストック・オプション評価の実務において、弊社でも長期国債等の日本国債の利回りを基礎数値として用いています)。
具体的な参照先としては、日本証券業協会が開示している「公社債市場・公社債店頭売買参考統計値」にて、リスクフリーレートの情報が得られます。
http://market.jsda.or.jp/html/saiken/kehai/downloadInput.php

2. マイナス金利とは

上述の日本証券業協会の売買参考統計値から国債の利回りを確認すると、例えば残存期間が5年物で『-0.173%』(長期国債317)、10年物で『-0.081%』(超長期国債90)(いずれも2016/8/22時点)というマイナスの数値が確認できます。
さらに、マイナス金利の影響は、ストック・オプション以外でも議論されており、退職給付債務の計算における割引率についても議論がなされています。こちらは、マイナス金利をそのまま適用するか、ゼロを下限とするかについて論点となっておりましたが、結論としては、「マイナスとなっている利回りをそのまま利用する方法とゼロを下限とする方法のいずれの方法を用いても、現時点では妨げられないものと考えられる」とされています。(平成28年3月9日:第331回企業会計基準委員会議事参照 オプションの計算について
https://www.asb.or.jp/asb/asb_j/minutes/20160309/20160309_06.オプションの計算について pdf)

3. マイナス金利を用いてオプション計算をして良いか

4. リスクフリーレートがオプション価値に与える影響

前述の通り、マイナス金利下においてもブラック・ショールズ式にマイナス金利を代入することは可能ですが、では、マイナス金利がオプション価値に及ぼす影響を調べてみましょう。
下のグラフは、横軸を金利、縦軸をオプション価値とした場合のグラフです。簡略化のため、ストック・オプション会計基準及び適用指針を参考に6つの基礎数値を仮定し、金利以外のパラメータは全て同一としています。
ちなみに、計算に用いた6つの基礎数値は以下の通りです。
①株価=100円
②行使価格=100円
③期間=10年
④配当率=0%
⑤ボラティリティ=50%
⑥リスクフリーレート→変動
ここで、日本における金利の変動幅は他の基礎数値の変動幅よりも小さく、
5年前の2011年8月22日時点の5年物で『0.331%』(長期国債282)、10年物で『1.025%』(超長期国債52)
10年前の2006年8月22日時点の5年物で『1.338%』(長期国債234)、10年物で『1.798%』(超長期国債33)
となっているため、10年間の時間の経過があったとしてもせいぜい2%程度の変動幅であることがわかります。そのため、金利の変化幅を0.2%刻みとしてオプションの価値を計算してみると、下のグラフのようになります。

金利の変動(-2.0%~2.0%)によってオプション価値は52.7円~61.3円の間で変動しました。この差額(8.57円)は原資産である株価に対しては8.57%(8.57円÷100円)となります。現時点でリスクフリーレートは低くとも-0.2%程度であるため、仮にリスクフリーレートを0%として計算した結果と比較してみると、
リスクフリーレート0%→57.1円
リスクフリーレート-0.2%→56.7円
となり、その差は0.4円、株価に対しての影響は0.4%程度となります。そのため、リスクフリーレートの見積もりについて、『マイナス金利は認めないから0%を使うべき』という前提を持ち出してきても、オプションの価値に与える影響は微々たるものであることが伺えます。

5. よくある勘違い「金利変動モデルであるブラック・モデル」

「ブラック・ショールズ式にマイナス金利なんて使えない。」という意見をクライアントや監査法人から最近良く聞くことがあります。似た名前のプライシングモデルに、ブラック・モデル(正確にはブラック・ダーマン・トイモデル)という金利変動モデルがあり、こちらは金利のオプションを評価する際に用いられているモデルであり、変動する金利が対数正規分布(0以下にはならない)であるという仮定に基づいています。
ブラック・モデルはブラック・ショールズ・モデルを提唱したフィッシャー・ブラック氏が、エマニュエル・ダーマン氏、ウィリアム・トイ氏とともに提唱したモデルであり、「ブラック」が共通しているため誤解が生じることがよくありますが、ブラック・モデル(ブラック・ダーマン・トイモデル)は金利の変動モデルであり、“金利が対数正規分布する”
という仮定であるのに対して、株式オプションのプライシングモデルであるブラック・ショールズ・モデルは、原資産である“株価が対数正規分布する”(金利は一定であり定数)という仮定であるため、似て非なるモデルであることがわかります。
ブラック・モデルでは、そもそも金利が0以下にはならない対数正規分布であるという仮定をしているため、マイナス金利には対応できないという意見は理解できますが、ブラック・ショールズ・モデルでは、金利は定数で一定であるというだけの定義であるため、マイナス金利であろうが計算に影響はありません。デリバティブの評価について詳しく解説されている書籍である『フィナンシャルエンジニアリング<第7版>』には、株式オプションの説明に用いる記号と定義の部分に、「r:満期までの運用に対する連続複利での無リスク金利。r>0と仮定してよい。」とあることから、r>0が絶対に正しい仮定というわけではないことがわかります。また、当該書籍には、「r>0という仮定を除いてその他の各要素(リスクフリーレート以外の5つの基礎数値)に対してなんら特別な仮定を必要としない。」という記載もあり、おそらく当該書籍が出版された頃は、マイナス金利という世界は想像していなかったので、r>0という仮定を特別に設けたものと考えられます。
これを実際に勘違いされた監査法人から、以下のような質問を受け取ったことがありますので、ご紹介しますと、
『ストック・オプション評価の件、確認しましたところ、一般論としてブラック・ショールズ・モデルは金利が「対数正規分布」に従うとの前提となっており、対数正規なので金利は0以上となることが前提であり、マイナス金利にはならないことが前提となっているとの理解です。マイナス金利下でも計算可能とのことであれば、その論拠と結論を評価書に記載いただく事は可能でしょうか。』
という質問を頂きました。弊社の回答としては、
『ブラック・ショールズ式を導く前提として、”金利は一定”としているのみですので、金利がプラスかマイナスかは関係ないものと理解しております。貴監査法人がおっしゃっているのは、「金利」変動をモデル化した時の話であり、株式のオプションは金利変動ではなく「株価」変動をモデル化しておりますので、内容が全く異なるものかと存じます。』
という回答となり、それ以降追加の質問は頂かなくなりました。

ヘーベルハウスの坪単価と価格について【実際の見積り写真を公開!】

ようすけ

見積りは写真付きで公開しています。
ぜひ最後までお読みください。

この記事を書いている人

ヘーベルハウスのオプション込みの坪単価は 105万円

ヘーベルハウスのオプション・外構を含めた最終的な坪単価は105万円。

総額は、28坪で3,000万円

評判通りの高級住宅だと言えます。

モデルキュービック
構造2階建 軽量鉄骨造
延べ床面積28坪 (92㎡)
外壁目地PJ目地
外壁色輝白(きはく)
断熱性能(UA値)等級4(UA値 0.5)

実際の請負契約時の見積もりを公開

▲ タップで拡大

これが実際の我が家の「請負契約時」の見積りです。
まだ、オプションを含まない金額です。

建築工事費 2,150万円
給排水・ガス工事85万円
外構工事150万円
設計費用50万円
上水引込み工事50万円
残土処分30万円
登記費用30万円
カーテン・照明40万円
土地分筆費用50万円
消費税(8%)200万円
総額 ¥ 2,850万円

このように、建物本体の価格のほかに20%〜30%ほどの費用が発生しますので、あらかじめ計算に入れておくべきです。

値引きはなかったが、180万円相当のオプションをサービスしてもらった

  • 太陽光パネル5.5kwサービス(120万円相当)
  • リビングのフローリング素材をグレードアップ(30万円相当)
  • エアコン2台サービス(30万円相当)

など、180万円相当のオプションをサービスとして頂いています。

オプションの内訳は?

実際に使ったカタログ

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